Basis dan Basis Ruang Vektor

Nama               : Salwa Nagita Mauludini

Nim                  : 202231034

Kelas                : A

Fakultas           : Telematika Energi

Program Studi : S1 Teknik Informatika

Mata Kuliah     : Aljabar Linear

Basis

Andaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = {u₁, u₂,…,u_n} adalah himpunan berhingga vektor-vektor pada V, S dikatakan basis untuk ruang V jika :

•  S bebas linier
•  S membangun V 

Dimensi

Sebuah ruang vektor dikatakan berdimensi berhingga, jika ruang vektor  V mengandung sebuah himpunan berhingga vektor S = {u₁, u₂,…,u_n} yang membentuk basis. Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis V. Contoh : Misalkan, B={i,j,k} dengan i=[1,0,0], j=[0,1,0], dan k=[0,0,1]. B adalah basis baku untuk R³. Karena banyaknya vektor yang membentuk basis B adalah 3, maka R³ berdimensi tiga. 

Ruang Kolom, Ruang Baris, dan Ruang Null

Definisi 

Jika A adalah matriks matriks 𝑚×𝑛 maka subruang dari 𝑅^n yang direntang oleh vektor -vektor baris dari A disebut ruang baris dari A, dan subruang dari 𝑅^m yang yang direntang oleh vektor -vektor kolom dari dari A disebut disebut ruang kolom dari A. Ruang solusi dari sistem persamaan yang yang homogen 𝐴𝑥=0 yang merupakan subruang dari 𝑅^n disebut ruang null dari A.

Teorema 

Jika suatu matriks R berada dalam bentuk eselon baris, maka vektor vektor baris dengan 1 utama membentuk suatu basis untuk ruang baris dari R dan Vektor-vektor kolom dengan 1 utama dari vektor-vektor baris membentuk Suatu basis untuk ruang kolom dari R

Teorema 

Jika A adalah matriks sebarang, maka ruang baris dan ruang kolom dari A memiliki dimensi yang sama.

Rank = Dimensi umum dari ruang baris dan ruang kolom

Nulitas = Dimensi ruang null dari A

Jika A adalah matriks dengan n kolom, maka : 

Rank (A) + Nulitas (A) = n 

Contoh :